\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
CommeUnJeu · Sixième

Proportionnalité

⌚ ~90 min ▢ 9 blocs ✓ 35 exercices ➣ Prérequis : Relations

Découvrez les bases de la proportionnalité. Apprenez à identifier des relations proportionnelles via les rapports et coefficients, et à calculer des taux unitaires. Maîtrisez quatre méthodes pour calculer une quatrième proportionnelle à travers des exemples concrets du quotidien.

I Qu'est-ce que la proportionnalité ?

Imagine que tu achètes des cookies. Le prix est de 2 euros par cookie. Le nombre de cookies est \(\textcolor{colordef}{x}\) et le coût total est \(\textcolor{colorprop}{y}\). On a :
\(\textcolor{colordef}{1}\) cookie coûte \(\textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{1}\)
\(\textcolor{colordef}{2}\) cookies coûtent \(\textcolor{colorprop}{4} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{2}\)
\(\textcolor{colordef}{3}\) cookies coûtent \(\textcolor{colorprop}{6} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{3}\)
\(\textcolor{colordef}{4}\) cookies coûtent \(\textcolor{colorprop}{8} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{4}\)
\(\textcolor{colordef}{x}\) cookies coûtent \(\textcolor{colorprop}{y} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{x}\)
  • Définition par le rapport : Peu importe le nombre de cookies achetés, le rapport \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}}\) est toujours le même et il vaut le prix d’un cookie :$$\dfrac{\textcolor{colorprop}{8}}{\textcolor{colordef}{4}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{6}}{\textcolor{colordef}{3}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{4}}{\textcolor{colordef}{2}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}} = \textcolor{olive}{2}.$$
  • Définition par la linéarité : On peut aussi exprimer le coût total avec une formule :$$\textcolor{colorprop}{y} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{x}.$$

Définition — Proportionnalité
Deux variables \(\textcolor{colordef}{x}\) et \(\textcolor{colorprop}{y}\) sont dites proportionnelles si le rapport \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}}\) est constant, égal à une valeur \(\textcolor{olive}{k}\) appelée coefficient de proportionnalité :$$\dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}} = \textcolor{olive}{k}.$$On dit aussi que \(\textcolor{colorprop}{y}\) est proportionnel à \(\textcolor{colordef}{x}\) si, pour la même constante \(\textcolor{olive}{k}\),$$\textcolor{colorprop}{y} = \textcolor{olive}{k}\times \textcolor{colordef}{x}.$$
Exemple
Ce tableau représente-t-il une situation de proportionnalité ?
\(\textcolor{colordef}{x}\) \(\textcolor{colordef}{1}\) \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{3}\)
\(\textcolor{colorprop}{y}\) \(\textcolor{colorprop}{15}\) \(\textcolor{colorprop}{30}\) \(\textcolor{colorprop}{45}\)

Oui. Ce tableau représente une situation de proportionnalité car chaque rapport est égal :$$\dfrac{\textcolor{colorprop}{15}}{\textcolor{colordef}{1}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{30}}{\textcolor{colordef}{2}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{45}}{\textcolor{colordef}{3}} = \textcolor{olive}{15}.$$

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître un tableau de proportionnalité
  • Tester la proportionnalité dans des situations courantes
  • Calculer le coefficient de proportionnalité dans un tableau de proportionnalité
  • Calculer le taux unitaire dans des situations de proportionnalité
  • Calculer le taux unitaire dans des situations de proportionnalité
  • Utiliser le taux unitaire pour calculer un total
  • Utiliser le taux unitaire pour calculer une quantité
II Calculer une quatrième proportionnelle
Méthode — Calculer une quatrième proportionnelle
Si 4 billets coûtent 28\(~\Euro\), combien coûtent 6 billets, sachant que chaque billet a le même prix ?
  • Méthode 1 : Coefficient de proportionnalité
    On cherche le prix pour une place :$$\text{Prix unitaire} = \dfrac{28}{4} = 7.$$Pour 6 places :$$\text{Total pour 6 places} = 7 \times 6 = 42.$$
  • Méthode 2 : Produit en croix
  • Méthode 3 : Retour à l'unité avec des rapports équivalents
  • Méthode 4 : Équation de proportion$$\begin{aligned}\dfrac{\textcolor{colorprop}{28}}{\textcolor{colordef}{4}} &= \dfrac{\textcolor{colorprop}{x}}{\textcolor{colordef}{6}} \\ \textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{28} \times \textcolor{colordef}{6} && \text{(produit en croix)} \\ \textcolor{colorprop}{x} &= \dfrac{\textcolor{colorprop}{28} \times \textcolor{colordef}{6}}{\textcolor{colordef}{4}} \\ \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{42}\end{aligned}$$
Donc, \(\textcolor{colordef}{6}\) places coûtent \(\textcolor{colorprop}{42}\) euros.
Compétences à pratiquer
  • Calculer une quatrième proportionnelle
  • Calculer les valeurs manquantes dans un tableau de proportionnalité
III R\'{e}vision \& Au-del\`{a}
Compétences à pratiquer
  • Quiz