Algèbre
Définitions
Définition Constante
Une constante est un nombre.
Exemple
\(0, \; 3, \; \pi\)
Définition Variable
Une variable est une quantité que l'on représente par une lettre.
Exemple
Définition Expression
Une expression est une forme algébrique composée de constantes, de variables et de signes d'opérations tels que \(+,-,\times,\div\) et \(\sqrt{\ }\).
Exemple
Définition Équation
Une équation est une égalité mathématique composée de deux expressions, le membre de gauche et le membre de droite, séparées par un signe égal \(=\).
Exemple
Définition Formule
Une formule est une équation, souvent liée au monde réel, à la physique ou à la géométrie.
Exemple
Pour un triangle : 
, \(A = \dfrac{b \times h}{2}\) est la formule de l'aire.
, \(A = \dfrac{b \times h}{2}\) est la formule de l'aire.
Notations
Définition Notation du produit
On peut supprimer le signe \(\times\) lorsqu'il est suivi d'une variable ou d'une parenthèse.
Exemple
- \(2 \times x = 2x\)
- \(2 \times (L+l) = 2(L+l)\)
Définition Addition itérée
$$\overbrace{x + x + \ldots + x}^{n\text{ termes}} = n\times x$$
Exemple
$$x + x + 1 + 1 + 1 = 2x + 3$$
Définition Multiplication itérée
$$\overbrace{x \times x \times \ldots \times x}^{n\text{ facteurs}} = x^n$$
Exemple
Pour un cercle :
, simplifie la formule de l'aire \(A = \pi \times r \times r\).
, simplifie la formule de l'aire \(A = \pi \times r \times r\).
$$\begin{aligned}A &= \pi \times r \times r \\
&= \pi r^2\end{aligned}$$
Identité
On a demandé à trois élèves de trouver la formule du périmètre du rectangle :
- Su : \(P = 2(l + L)\)
- Louis : \(P = l + L + l + L\)
- Hugo : \(P = 2l + 2L\)
Ils ont tous raison. Ces trois expressions \(2(l + L)\), \(l + L + l + L\) et \(2l + 2L\) donnent le même résultat pour le périmètre du rectangle, quelles que soient les valeurs de \(l\) et \(L\). Ce sont des identités.
Définition Identité
Une identité est une égalité entre deux expressions telle que leur évaluation donne la même valeur quelles que soient les valeurs des variables.
Les identités sont fondamentales en algèbre : elles permettent de transformer et de simplifier des expressions et constituent la base pour résoudre des équations et manipuler des formules.
Proposition Propriétés de la multiplication par 1 et 0
$$1 \times x = x \qquad \text{et} \qquad 0 \times x = 0$$
Proposition Identités de commutativité
$$\textcolor{colordef}{a} + \textcolor{colorprop}{b} = \textcolor{colorprop}{b} + \textcolor{colordef}{a}\qquad \text{et} \qquad\textcolor{colordef}{a} \times \textcolor{colorprop}{b} = \textcolor{colorprop}{b} \times \textcolor{colordef}{a}$$
Proposition Identités d'associativité
$$(\textcolor{colordef}{a} + \textcolor{colorprop}{b}) + \textcolor{olive}{c} = \textcolor{colordef}{a} + (\textcolor{colorprop}{b} + \textcolor{olive}{c})\qquad \text{et} \qquad(\textcolor{colordef}{a} \times \textcolor{colorprop}{b}) \times \textcolor{olive}{c} = \textcolor{colordef}{a} \times (\textcolor{colorprop}{b} \times \textcolor{olive}{c})$$
Exemple
Montre que \(l + L + l + L = 2l + 2L\).
$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{l} + \textcolor{colorprop}{L} + \textcolor{colordef}{l} + \textcolor{colorprop}{L}&= \textcolor{colordef}{l + l} + \textcolor{colorprop}{L + L} && (\text{regrouper les termes}) \\
&= \textcolor{colordef}{2l} + \textcolor{colorprop}{2L} && (\text{addition itérée})\end{aligned}$$
Méthode Simplifier en regroupant les termes similaires
Simplifier une expression en regroupant les termes similaires consiste à regrouper des termes qui ont les mêmes variables élevées aux mêmes puissances.
- Identifier les termes similaires : Les termes similaires ont les mêmes variables élevées aux mêmes puissances. Par exemple, \(3x\) et \(5x\) sont similaires, mais \(3x\) et \(3x^2\) ne le sont pas.
- Regrouper les termes similaires : Additionne ou soustrais les coefficients (partie numérique) des termes similaires. La partie variable reste la même.
Exemple
Simplifie l'expression : \(2x + 4 + x - 2\)
$$\begin{aligned}[t]2x + 4 + x - 2 &= \textcolor{colordef}{2x} \textcolor{colorprop}{+4} \textcolor{colordef}{+x} \textcolor{colorprop}{-2} &&(\text{identifier les termes similaires}) \\
&= \textcolor{colordef}{(2+1)x} + \textcolor{colorprop}{4-2} &&(\text{regrouper les termes similaires}) \\
&= \textcolor{colordef}{3x} + \textcolor{colorprop}{2} &&(\text{simplifier})\end{aligned}$$
Substituer
Définition Substituer
Substituer consiste à remplacer une variable dans une expression ou une équation par une valeur spécifique.
Pour éviter toute confusion avec les signes, notamment lors de la substitution de valeurs négatives, on écrit généralement les substitutions entre parenthèses.
Méthode Évaluer
Pour évaluer une expression, on remplace chaque variable par un nombre puis on effectue les opérations arithmétiques.
Exemple
$$\begin{aligned}2x + 4 &= 2 \times \textcolor{olive}{(5)} + 4 \quad (\text{substituer } \textcolor{olive}{x} \text{ par } \textcolor{olive}{5}) \\
&= 10 + 4 \\
&= 14\end{aligned}$$Il y a 14 billes.
Distributivité
Le grand rectangle ci-dessous est divisé en deux rectangles plus petits. Trouve l'aire totale du grand rectangle de deux manières différentes. 
- Méthode 1 : Somme des parties
L'aire totale est la somme des aires des deux rectangles plus petits. $$\text{Aire totale} = \textcolor{colordef}{\text{Aire 1}} + \textcolor{colorprop}{\text{Aire 2}} = \textcolor{colordef}{ab} + \textcolor{colorprop}{ac}$$
- Méthode 2 : Aire du tout
La longueur totale de la base est \(b+c\) et la hauteur est \(a\). $$\text{Aire totale} = \textcolor{olive}{a(b+c)}$$
Proposition Identités distributives
La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction :
- Addition :
- Soustraction :
Exemple
Montre que \(2(\ell + L) = 2\ell + 2L\).
Définition Développer
Développer consiste à utiliser la distributivité pour écrire un produit avec des parenthèses sous la forme d'une somme (ou d'une différence) de termes.
Exemple
Développe \(2(2x + 3)\).
