Ensembles de nombres

Les ensembles de nombres sont des collections de nombres définies par des propriétés communes et constituent un fondement des mathématiques. On commence par les nombres naturels ($\N$), utilisés pour compter. En ajoutant les nombres négatifs, on obtient les entiers ($\Z$). En autorisant les quotients d’entiers (avec un dénominateur non nul), on définit les nombres rationnels ($\Q$). Parmi les nombres réels ($\R$), on trouve aussi des nombres irrationnels (comme $\sqrt{2}$ et $\pi$) qui, avec les rationnels, remplissent toute la droite numérique. Chacun de ces ensembles contient les précédents.

Définition Ensembles de nombres

Les nombres entiers naturels, notés $\N$, sont les nombres utilisés pour compter, en commençant par zéro :$$\N = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$$
Les nombres entiers relatifs, notés $\Z$, comprennent tous les nombres entiers, positifs, négatifs et zéro :$$\Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$
Les nombres décimaux, notés $\mathbb{D}$, sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 :$$\mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{10^n} \mid a \in \Z,\, n \in \N \right\}$$
Les nombres rationnels, notés $\Q$, sont tous les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction $\frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ entiers, $q \neq 0$ :$$\Q = \left\{ \frac{p}{q} \mid p, q \in \Z,\, q \neq 0 \right\}$$
Les nombres réels, notés $\R$, comprennent tous les points de la droite numérique : les rationnels et les irrationnels (comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$).

Exemple

$1\in \N, 1\in \Z, 1\in \mathbb{D},1\in \Q, 1\in\R$
$-5 \in \Z$, $-5 \notin \N$
$0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \in \mathbb{D}$ (and also in $\Q$ and $\R$)
$\frac{1}{3} \in \Q$ but $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$
$\sqrt{2} \in \R$ but $\sqrt{2} \notin \Q$ (irrational)

Proposition Développement décimal fini

Un nombre décimal admet un développement décimal fini.

Exemple

$\frac{3}{4} = 0.75$ (finite, so decimal).$\frac{1}{3} = 0.3333\dots$ (infinite, so not decimal).

Proposition Développement décimal périodique

Un nombre rationnel admet un développement décimal périodique à partir d'un certain rang.

Exemple

$\frac{1}{7} = 0.142857142857\dots$ (the sequence 142857 repeats).

Proposition Relations entre les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres sont emboîtés comme suit :$$\N \subset \Z \subset \mathbb{D} \subset \Q \subset \R$$Cela signifie : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un nombre décimal, tout nombre décimal est un nombre rationnel, et tout nombre rationnel est un nombre réel.

Proposition Caractérisation des nombres décimaux

Un nombre est décimal si, et seulement si, il peut s'écrire $\frac{a}{2^m \times 5^p}$ avec $a \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{N}, p \in \mathbb{N}$.

Preuve

$\Rightarrow$ Si $x$ est un nombre décimal, par définition $x = \frac{a}{10^n}$. Comme $10 = 2 \times 5$, on a $10^n = 2^n \times 5^n$. Ainsi $x = \frac{a}{2^n \times 5^n}$, ce qui correspond à la forme attendue (avec $m=n$ et $p=n$).
$\Leftarrow$ Réciproquement, supposons que $x = \frac{a}{2^m \times 5^p}$. Soit $n = \max(m, p)$ le plus grand des deux exposants. On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par des puissances de 2 ou de 5 pour que les exposants soient égaux à $n$.
$$ x = \frac{a \times 2^{n-m} \times 5^{n-p}}{2^n \times 5^n} = \frac{A}{10^n} $$Puisque le dénominateur est une puissance de 10, $x$ est un nombre décimal.

Exemple

Considérons le nombre $\frac{7}{40}$.

On décompose le dénominateur : $40 = 8 \times 5 = 2^3 \times 5^1$.
Puisque les facteurs premiers sont uniquement 2 et 5, c'est un nombre décimal.
Pour l'écrire avec un dénominateur $10^n$ (ici $n=3$ est le plus grand exposant), on multiplie le numérateur et le dénominateur par $5^2$ : $$\frac{7}{40} = \frac{7}{2^3 \times 5^1} = \frac{7 \times 5^2}{2^3 \times 5^1 \times 5^2} = \frac{7 \times 25}{2^3 \times 5^3} = \frac{175}{10^3} = 0{,}175$$

Proposition Irrationalité de $\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

Preuve

Supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel. Alors $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ où $\frac{p}{q}$ est une fraction irréductible.
En élevant au carré de chaque côté : $2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$.
Cela implique que $p^2$ est pair, donc $p$ doit être pair. Posons $p = 2k$.
En remplaçant : $(2k)^2 = 2q^2 \implies 4k^2 = 2q^2 \implies 2k^2 = q^2$.
Cela implique que $q^2$ est pair, donc $q$ doit être pair.Si $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ils ont un facteur commun de 2, ce qui contredit le fait que la fraction est irréductible.
Ainsi, $\sqrt{2}$ ne peut pas être rationnel.

Intervalles

Définition Intervalle

Un intervalle est un ensemble de tous les nombres réels situés entre deux bornes, qui peuvent ou non être incluses dans l’ensemble.

Exemple

L’ensemble de tous les nombres réels entre $0$ et $1$, incluant $1$ mais pas $0$, est un intervalle. Il s’écrit $\{x \in \R \mid 0 < x \leq 1\}$.

Méthode Représentation des intervalles sur une droite numérique

Les intervalles sont souvent représentés sur une droite numérique selon ces conventions :

Un point ouvert (cercle vide) ou un crochet ouvert vers l'extérieur signifie que la borne n’est pas incluse.
Un point fermé (cercle plein) ou un crochet fermé vers l'intérieur signifie que la borne est incluse.
Une flèche indique que l’intervalle s’étend jusqu’à $+\infty$ ou $-\infty$.

Exemple

La représentation sur une droite numérique de $\{x \in \R \mid 0 < x \leq 1\}$ est :

Définition Notation des intervalles

Notation des intervalles	Notation par compréhension	Représentation sur la droite numérique
$[ a, b ]$	$\{x \in \R \mid a \leqslant x \leqslant b\}$
$[ a, b [$	$\{x \in \R \mid a \leqslant x < b\}$
$] a, b ]$	$\{x \in \R \mid a < x \leqslant b\}$
$] a, b [$	$\{x \in \R \mid a < x < b\}$
$[ a, +\infty [$	$\{x \in \R \mid a \leqslant x\}$
$] a, +\infty [$	$\{x \in \R \mid a < x\}$
$] -\infty, a ]$	$\{x \in \R \mid x \leqslant a\}$
$] -\infty, a [$	$\{x \in \R \mid x < a\}$

Valeur absolue et distance

Définition Valeur absolue d'un réel

La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est la distance de $x$ à 0 sur la droite numérique.$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

Exemple

$|5| = 5$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$, $|\pi - 4| = 4 - \pi$ (since $\pi \approx 3.14 < 4$).

Définition Distance entre deux réels

La distance entre deux nombres réels $a$ et $b$ sur la droite numérique est donnée par $|b-a|$ (qui est égale à $|a-b|$).

Exemple

La distance entre -2 et 3 est $|3 - (-2)| = |5| = 5$.

Proposition Intervalle défini par la valeur absolue

Soit $a$ et $r$ deux nombres réels avec $r>0$.L'inégalité $|x-a| \leqslant r$ est équivalente à $x \in[a-r ; a+r]$.Cela représente l'ensemble des points dont la distance au centre $a$ est au plus égale au rayon $r$.

Exemple

$|x-3| \leqslant 2$ signifie que la distance de $x$ à 3 est inférieure ou égale à 2.Cela correspond à l'intervalle $[3-2, 3+2] = [1, 5]$.

Définition Encadrement d'un nombre réel

Encadrer un nombre réel $x$, c'est trouver deux nombres décimaux $a$ et $b$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$. La différence $b-a$ est appelée l'amplitude de l'encadrement.

Exemple

Pour $\pi \approx 3,14159...$ :

Encadrement d'amplitude 1 : $3 \leqslant \pi \leqslant 4$
Encadrement d'amplitude 0,1 : $3,1 \leqslant \pi \leqslant 3,2$
Encadrement d'amplitude $10^{-2}$ : $3,14 \leqslant \pi \leqslant 3,15$

Notation des intervalles	Notation par compréhension	Représentation sur la droite numérique
\([ a, b ]\)	\(\{x \in \R \mid a \leqslant x \leqslant b\}\)
\([ a, b [\)	\(\{x \in \R \mid a \leqslant x < b\}\)
\(] a, b ]\)	\(\{x \in \R \mid a < x \leqslant b\}\)
\(] a, b [\)	\(\{x \in \R \mid a < x < b\}\)
\([ a, +\infty [\)	\(\{x \in \R \mid a \leqslant x\}\)
\(] a, +\infty [\)	\(\{x \in \R \mid a < x\}\)
\(] -\infty, a ]\)	\(\{x \in \R \mid x \leqslant a\}\)
\(] -\infty, a [\)	\(\{x \in \R \mid x < a\}\)