Éducation Nationale Française · Seconde
Résoudre des équations
Maîtrisez la résolution d'équations linéaires et quadratiques via le principe de la balance, les opérations inverses et la règle du produit nul. Apprenez à isoler l'inconnue et à factoriser. Inclut des défis d'escape game pour s'entraîner à vérifier les solutions étape par étape.
I
Qu'est-ce qu'une équation ?
Bienvenue dans l'Escape Game de maths ! Ton équipe doit résoudre une dernière énigme pour trouver le code secret à un chiffre (un nombre entre \(0\) et \(9\)) et s'échapper.
L'indice est une équation où le code est représenté par le symbole \(\triangle\) :$$\triangle + 10 = 1 + 2 \times 6$$Tu n'as qu'une seule chance pour entrer le bon chiffre. Deux de tes coéquipiers proposent des réponses différentes :
L'indice est une équation où le code est représenté par le symbole \(\triangle\) :$$\triangle + 10 = 1 + 2 \times 6$$Tu n'as qu'une seule chance pour entrer le bon chiffre. Deux de tes coéquipiers proposent des réponses différentes :
- Louis propose de saisir \(\boxed{8}\).
- Su propose de saisir \(\boxed{3}\).
Pour trouver le bon code, nous testons chaque proposition pour voir quelle valeur de \(\triangle\) rend l'équation vraie.
D'abord, simplifions le membre de droite de l'équation. On effectue d'abord la multiplication :$$1 + 2 \times 6 = 1 + 12 = 13.$$L'équation devient alors :$$\triangle + 10 = 13.$$
D'abord, simplifions le membre de droite de l'équation. On effectue d'abord la multiplication :$$1 + 2 \times 6 = 1 + 12 = 13.$$L'équation devient alors :$$\triangle + 10 = 13.$$
- Teste le code de Louis : Remplace \(\textcolor{colordef}{\triangle = 8}\) dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{8} + 10 &= 18 \\ 18 &= 13 &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$ Le code de Louis est incorrect.
- Teste le code de Su : Remplace \(\textcolor{colordef}{\triangle = 3}\) dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{3} + 10 &= 13 \\ 13 &= 13 &&\text{(Vrai)} \end{aligned} $$ Le code de Su est correct.
Définition — Équation et Solution
Une équation est une phrase mathématique qui dit que deux expressions sont égales. Elle contient souvent une variable (ou inconnue), qui est un symbole (comme \(x\) ou \(\triangle\)) représentant un nombre que nous ne connaissons pas encore.Résoudre une équation signifie trouver toutes les valeurs de la variable qui rendent l'équation vraie. Chaque valeur trouvée est une solution de l'équation.
Exemple
Montre que \(x = 2\) est une solution de l'équation \(3 + x = 5\).
On remplace \(\textcolor{colordef}{x = 2}\) dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite :$$\begin{aligned}3 + \textcolor{colordef}{(2)} &= 5 \\
5 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation vraie.)}\end{aligned}$$Comme l'égalité est vraie, \(x = 2\) est une solution.
Exemple
Montre que \(x = 1\) n'est pas une solution de \(3 + x = 5\).
On remplace \(\textcolor{colordef}{x = 1}\) dans l'équation :$$\begin{aligned}3 + \textcolor{colordef}{(1)} &= 5 \\
4 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation fausse.)}\end{aligned}$$Comme l'égalité est fausse, \(x = 1\) n'est pas une solution.
Compétences à pratiquer
- Salle d'évasion mathématique niveau 1
- Salle d'évasion mathématique niveau 2
- Salle d'évasion mathématique niveau 3
II
Résolution par inspection et essais-erreurs
Méthode — Essai-erreur
La méthode des essais-erreurs est une méthode de base pour résoudre un problème : on teste différentes valeurs pour la variable jusqu'à trouver celle qui rend l'équation vraie. Pour chaque valeur, on la remplace dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite.Pour des équations simples, on peut parfois trouver la solution simplement en regardant l'équation. On parle alors de résolution par inspection.
Exemple
Considère l'équation \(2x + 3 = 11\). Utilise la méthode des essais-erreurs pour trouver la solution.
Nous testons différentes valeurs entières pour \(x\) pour voir laquelle rend l'équation vraie.
- Essai avec \(\textcolor{colordef}{x = 2}\) : $$ \begin{aligned} 2 \times \textcolor{colordef}{(2)} + 3 &= 11 \quad &&\text{(Substituer)} \\ 4 + 3 &= 11 \\ 7 &= 11 \quad &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$
- Essai avec \(\textcolor{colordef}{x = 3}\) : $$ \begin{aligned} 2 \times \textcolor{colordef}{(3)} + 3 &= 11 \quad &&\text{(Substituer)} \\ 6 + 3 &= 11 \\ 9 &= 11 \quad &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$
- Essai avec \(\textcolor{colordef}{x = 4}\) : $$ \begin{aligned} 2 \times \textcolor{colordef}{(4)} + 3 &= 11 \quad &&\text{(Substituer)} \\ 8 + 3 &= 11 \\ 11 &= 11 \quad &&\text{(Vrai)} \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Trouver une solution niveau 1
- Trouver une solution niveau 2
III
Principe de l'équilibre
Une équation est une affirmation que deux expressions sont égales. On peut visualiser cette affirmation comme une balance en équilibre, où l'expression du côté gauche a la même valeur (poids) que celle du côté droit.L'équation \(x + 10 = 13\) peut être représentée ainsi :
Quelle opération pourrions-nous effectuer des deux côtés pour isoler \(x\) ?
Quelle opération pourrions-nous effectuer des deux côtés pour isoler \(x\) ?
Pour garder la balance en équilibre, toute opération que nous effectuons doit être appliquée de manière égale des deux côtés. Pour isoler \(x\), nous devons enlever le poids de 10 du plateau de gauche. Pour maintenir l'équilibre, nous devons également enlever un poids de 10 du plateau de droite.
Définition — Équations équivalentes
Deux équations sont équivalentes si elles ont exactement les mêmes solutions. Pour résoudre une équation, on la transforme en une série d'équations plus simples et équivalentes, jusqu'à ce que la solution soit évidente.Proposition — Règles d'or de la résolution d'équations
Pour créer une équation équivalente, ce que tu fais d'un côté de l'équation, tu dois le faire de l'autre côté.- Propriété d'addition/soustraction : Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés produit une équation équivalente.$$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad A+c = B+c$$(et de même \(A-c = B-c\))
- Propriété de multiplication/division : Multiplier ou diviser les deux côtés par le même nombre non nul produit une équation équivalente.$$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad cA = cB \quad (c \neq 0)$$$$A=B \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{A}{c} = \dfrac{B}{c} \quad (c \neq 0)$$
Compétences à pratiquer
- Résoudre des équations en ajoutant ou soustrayant
- Résoudre des équations en multipliant ou divisant
IV
Résoudre en inversant les opérations
Une expression algébrique comme \(2x+1\) peut être vue comme une suite d'opérations appliquées à une variable \(x\). Pour résoudre une équation qui contient cette expression, notre but est d'inverser cette suite pour revenir à \(x\).
Définition — Opérations inverses
Une opération inverse est une opération qui « annule » une autre opération.- L'addition et la soustraction sont des opérations inverses.\(\boxed{x}\xrightarrow{+a}\boxed{x+a}\xrightarrow{-a}\boxed{x}\)
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.\(\boxed{x}\xrightarrow{\times a}\boxed{ax}\xrightarrow{\div a}\boxed{x} \quad \text{avec }a\neq 0\)
Méthode — Résoudre en inversant les opérations
Dans de nombreuses équations linéaires, on peut isoler la variable en appliquant les opérations inverses dans l'ordre inverse.- Identifie la suite d'opérations utilisée pour construire l'expression contenant la variable.
- Inverse cette suite en utilisant les opérations inverses correspondantes, en appliquant chaque étape aux deux côtés de l'équation.
Exemple
Résous pour \(x\) :$$2x+1=7$$- Séquence des opérations sur \(x\) : D'abord, \(x\) est multiplié par 2, puis 1 est ajouté. $$ \boxed{x}\xrightarrow{\times 2}\boxed{2x}\xrightarrow{+1}\boxed{2x+1} $$
- Séquence inverse avec opérations inverses : Pour isoler \(x\), nous devons d'abord soustraire 1, puis diviser par 2. $$ \boxed{2x+1}\xrightarrow{-1}\boxed{2x}\xrightarrow{\div 2}\boxed{x} $$
- Application des étapes : $$ \begin{aligned} 2x + 1 &= 7 \\ 2x + 1 - 1 &= 7 - 1 &&\text{(Soustraire 1 des deux côtés)} \\ 2x &= 6 \\ \frac{2x}{2} &= \frac{6}{2} &&\text{(Diviser les deux côtés par 2)} \\ x &= 3 \end{aligned} $$ La solution est \(x = 3\).
Compétences à pratiquer
- Faire des expressions
- Défaire des expressions
- Résoudre des équations linéaires : niveau 1
- Résoudre des équations linéaires : niveau 2
V
Résoudre un produit de facteurs linéaires
Dans le chapitre précédent, nous avons appris à factoriser des expressions. Nous allons maintenant voir comment cette compétence est essentielle pour résoudre des équations non linéaires, en particulier lorsqu'on peut écrire une équation comme un produit de facteurs linéaires égal à zéro. La puissance de la factorisation vient d'une propriété simple mais fondamentale du nombre zéro.
Proposition — Règle du produit nul
Si le produit de deux ou plusieurs facteurs est égal à zéro, alors au moins l'un des facteurs doit être égal à zéro.Méthode — Résoudre par factorisation
La règle du produit nul nous donne une stratégie puissante pour résoudre des équations du type « produit de facteurs = 0 » :- Réécris l'équation en regroupant tous les termes d'un côté et en ayant \(0\) de l'autre côté.
- Factorise complètement le côté qui contient la ou les variables.
- Pose que chaque facteur est égal à zéro et résous les équations linéaires obtenues.
Exemple
Résous l'équation : \(x(x+1)=0\)
L'expression est déjà factorisée et égale à zéro, donc on peut appliquer directement la règle du produit nul en posant que chaque facteur est égal à zéro :$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{x}\,\textcolor{colorprop}{(x+1)} &= 0 \\
\textcolor{colordef}{x=0} &\text{ ou }\textcolor{colorprop}{(x+1)=0} &&\text{(règle du produit nul)}\\
\textcolor{colordef}{x=0} &\text{ ou }\textcolor{colorprop}{x=-1}\,.\end{aligned}$$L'équation a deux solutions : \(x=0\) et \(x=-1\).
Compétences à pratiquer
- Résoudre des équations avec la règle du produit nul : niveau 1
- Résoudre des équations avec la règle du produit nul : niveau 2
VI
Résolution d'équations quadratiques de base
Appliquons notre stratégie de factorisation pour résoudre l'équation quadratique \(x^2 = 9\).
- Réécrire pour avoir zéro :$$x^2 - 9 = 0$$
- Factoriser : c'est une différence de deux carrés, \(x^2 - 3^2\).$$(\textcolor{colordef}{x-3})(\textcolor{colorprop}{x+3}) = 0$$
- Appliquer la règle du produit nul :$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{x-3=0} &\quad\text{ou}\quad \textcolor{colorprop}{x+3=0} \\ \textcolor{colordef}{x=3} &\quad\text{ou}\quad \textcolor{colorprop}{x=-3}\end{aligned}$$
Proposition — Solutions de \(x^2 \equal k\)
Considérons l'équation \(x^2 = k\), où \(k\) est un nombre réel. En cherchant des solutions réelles, on obtient :$$\begin{cases}x = \pm\sqrt{k} & \text{si } k > 0 \quad\text{(deux solutions réelles)} \\
x = 0 & \text{si } k = 0 \quad\text{(une solution réelle)} \\
\text{Pas de solution réelle} & \text{si } k < 0\end{cases}$$Autrement dit, résoudre \(x^2 = k\) revient à prendre la racine carrée des deux côtés, sans oublier les deux racines opposées lorsque \(k>0\).Exemple
Résous l'équation : \(x^2 = 3\)
Ici, \(k = 3 > 0\), donc il y a deux solutions réelles :$$x = \sqrt{3} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{3}.$$On peut écrire cela de manière plus concise : \(x = \pm\sqrt{3}\).
Compétences à pratiquer
- Résoudre les équations du type \(x^2 \equal k\)
VII
R\'{e}vision \& Au-del\`{a}
Compétences à pratiquer
- Quiz
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