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International Baccalaureate · DP 1 : Analysis and Approaches SL

Puissances

⌚ ~434 min ▢ 52 blocs ✓ 221 exercices ➣ Prérequis : Puissances

Guide complet sur les puissances : exposants positifs, négatifs et rationnels. Apprenez les 6 lois, la notation scientifique et le nombre e. Maîtrisez la simplification d'expressions et la résolution d'équations exponentielles par égalité d'indices ou forme quadratique.

I Exposants positifs

Imagine que tu as un échiquier. Tu places deux grains de blé sur la première case, quatre grains sur la deuxième case, huit grains sur la troisième case, et ainsi de suite, en doublant le nombre de grains sur chaque case suivante.
Combien de grains de blé y a-t-il sur la dernière case d'un échiquier de 64 cases ?

Numéro de la case Nombre de grains
\(1\) \(2\)
\(2\) \(2 \times 2\)
\(3\) \(2 \times 2 \times 2\)
\(\vdots\) \(\vdots\)
\(64\) \(\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}\)
Au lieu d'écrire \(\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}\), nous pouvons écrire ce produit sous la forme \(2^{64}\).
Cela signifie qu'il y a \(2^{64}\) grains sur la dernière case. Avec une calculatrice :$$2^{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,616.$$C'est un nombre énorme !


Définition — Puissance
La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre par lui-même.
Pour un nombre \(a\) et un entier positif \(n\),$$a^n = \overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{n\ \text{facteurs}}.$$
Exemple
Écris sous forme de puissance : \(5 \times 5 \times 5\).

\(5 \times 5 \times 5 = 5^3\)

Définition — Vocabulaire
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Valeur} & \text{Multiplication répétée} & \text{Puissance} & \text{À l'oral} \\ \hline2 & 2 & 2^1 & 2\ \text{ou}\ 2\ \text{puissance}\ 1 \\ 4 & 2 \times 2 & 2^2 & 2\ \text{au carré ou}\ 2\ \text{puissance}\ 2 \\ 8 & 2 \times 2 \times 2 & 2^3 & 2\ \text{au cube ou}\ 2\ \text{puissance}\ 3 \\ 16 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^4 & 2\ \text{puissance}\ 4 \\ 32 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^5 & 2\ \text{puissance}\ 5 \\ \hline\end{array}$$
Exemple
Détermine la valeur de \(2^3\).

$$\begin{aligned}[t]2^3 &= 2 \times 2 \times 2 \\ &= 8\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Écrire une multiplication répétée sous forme d'une puissance
  • Écriture sous forme de puissance à partir des mots
  • Calculer des puissances
  • Exprimer des nombres sous forme de puissances
  • Interpréter des puissances
  • Calculer des expressions avec des puissances
  • Vérifier l'égalité entre des produits et des puissances
  • Écrire une multiplication répétée d'une expression algébrique sous forme de puissance
  • Écriture d'expressions algébriques sous forme de puissance à partir d'expressions verbales
II Puissances négatives

Pour comprendre les exposants négatifs, explorons le schéma de la multiplication par \(2\) :
À partir de ce schéma, on observe :
  • \(2^1 = 2\)
  • \(2^2 = 2 \times 2\)
  • \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\)
Comme l'opération inverse de la multiplication est la division, nous pouvons diviser par \(2\) de manière répétée pour prolonger le schéma :
On constate alors :
  • \(2^0 = 1\)
  • \(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\)
  • \(2^{-2} = \dfrac{1}{2 \times 2}\)
  • \(2^{-3} = \dfrac{1}{2 \times 2 \times 2}\)

Définition — Puissance pour un exposant négatif
Pour un nombre non nul \(a\) et un entier positif non nul \(n\), on prolonge la définition de la puissance aux exposants négatifs en posant :$$\begin{aligned}[t]a^{-n} &= \dfrac{1}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{facteurs}}} \\ &= \dfrac{1}{a^n}\end{aligned} \qquad \text{et} \qquad a^0 = 1 \quad (a \neq 0).$$En particulier, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\). Un exposant négatif signifie donc que l’on prend l’inverse de la puissance correspondante.
Exemple
Écris \(3^{-2}\) sous forme de fraction.

$$\begin{aligned}[t]3^{-2} &= \dfrac{1}{3 \times 3} \\ &= \dfrac{1}{9}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Écrire les exposants négatifs sous forme de fractions
  • Écrire les fractions sous forme d’exposants négatifs
III Exposants rationnels

Nous connaissons les exposants positifs, comme \(5^3 = 5 \times 5 \times 5\), et aussi les exposants négatifs, comme \(5^{-3} = \dfrac{1}{5 \times 5 \times 5}\).
Mais qu'en est-il des exposants fractionnaires ?
En utilisant les lois des exposants, voyons ce qui se passe avec \(\textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}}\) :$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} \times \textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} &= 5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} \\ &= 5^1 \\ &= \textcolor{olive}{5}\end{aligned}$$Et par la définition de la racine carrée :
$$\textcolor{colorprop}{\sqrt{5}} \times \textcolor{colorprop}{\sqrt{5}} = \textcolor{olive}{5}$$En comparant ces deux résultats, nous voyons que :$$\textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} \times \textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} = \textcolor{colorprop}{\sqrt{5}} \times \textcolor{colorprop}{\sqrt{5}}$$Donc, nous pouvons en déduire que :$$\textcolor{colordef}{5^{\frac{1}{2}}} = \textcolor{colorprop}{\sqrt{5}}$$Dans ce chapitre, nous n’utiliserons des exposants rationnels que pour des bases positives, afin que des racines comme \(\sqrt[n]{a}\) soient des nombres réels. Cela montre que nous pouvons utiliser des exposants fractionnaires pour représenter des racines, élargissant ainsi notre compréhension des exposants pour inclure les exposants rationnels.

Définition — Exposant rationnel
Pour un nombre \(a>0\) et des entiers positifs \(m\) et \(n\),$$\begin{aligned}a^{\frac{1}{2}} &= \sqrt{a}, \\ a^{\frac{1}{n}} &= \sqrt[n]{a}, \\ a^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.\end{aligned}$$
Ex 1
Compétences à pratiquer
  • Exprimer les racines avec des puissances
  • Calculer les puissances et arrondir
IV Loi des exposants 1

Regardons un exemple :$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}} \times \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{olive}{2}}&= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}\,\text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\ &= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\ &= \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}}.\end{aligned}$$Dans cet exemple, on multiplie deux puissances de même base (7).
On voit que l’on garde la base et qu’on additionne les exposants : \(3 + 2 = 5\).
De manière générale, lorsque l’on multiplie un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\) par ce même nombre élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c’est-à-dire :$$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}},$$le résultat est égal à \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la somme des exposants :$$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}.$$

Proposition — Loi des exposants 1
Quand on multiplie deux puissances de même base, on garde la base et on additionne les exposants :$$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}.$$

Soit \(\textcolor{colordef}{a}\) un nombre et \(\textcolor{colorprop}{m}\) et \(\textcolor{olive}{n}\) des entiers positifs.$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}&= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}\ \text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\ &= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\ &= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}.\end{aligned}$$

Exemple
Simplifie \(5^2\times 5^4\).

$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}} \times \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{4}}&= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{olive}{4}} && \text{(même base, on additionne les exposants)} \\ &= \textcolor{colordef}{5}^{6}.\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Simplifier des produits de puissances
  • Simplification de produits de puissances algébriques
  • Identifier les bonnes expressions exponentielles
  • Simplifier des expressions de puissances
V Loi des exposants 2

Regardons un exemple :$$\begin{aligned}\dfrac{\textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{5}}}{\textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{olive}{2}}}&= \dfrac{\overbrace{\cancel{\textcolor{colordef}{7}} \times \cancel{\textcolor{colordef}{7}} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{5}\,\text{facteurs}}} {\underbrace{\cancel{\textcolor{colordef}{7}} \times \cancel{\textcolor{colordef}{7}}}_{\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}}}\\ &= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{5} - \textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}}\\ &= \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{5} - \textcolor{olive}{2}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsqu'on divise un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\) par ce même nombre élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire :$$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}},$$le résultat est \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la différence des exposants :$$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} - \textcolor{olive}{n}}.$$

Proposition — Loi des exposants 2
Pour \(a\neq 0\) et pour des nombres \(m\) et \(n\),$$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} - \textcolor{olive}{n}}$$
Exemple
Simplifie \(\dfrac{5^7}{5^3}\).

$$\begin{aligned}\dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{7}}}{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{3}}}&= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{7} - \textcolor{olive}{3}} \\ &= \textcolor{colordef}{5}^{4}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Simplifier des fractions de puissances
  • Simplifier des fractions de puissances algébriques
VI Loi des exposants 3

Regardons un exemple :$$\begin{aligned}\left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{3}}&= (\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}})^{\textcolor{olive}{3}} \\ &= \overbrace{(\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}}) \times (\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}}) \times (\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}})}^{\textcolor{olive}{3}\,\text{facteurs}} \\ &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} + \textcolor{colorprop}{2} +\textcolor{colorprop}{2}}\\ &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{olive}{3}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsqu'on élève un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\), puis qu'on élève ce résultat à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire$$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}},$$le résultat est \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé au produit des exposants :$$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}}= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} \times \textcolor{olive}{n}}.$$

Proposition — Loi des exposants 3
Pour \(a\neq 0\) et pour des nombres \(m\) et \(n\),$$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} \times \textcolor{olive}{n}}$$
Exemple
Simplifie \(\left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{5}}\).

$$\begin{aligned}[t]\left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{5}}&= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{olive}{5}} \\ &= \textcolor{colordef}{5}^{10}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Simplifier des puissances de puissances
  • Simplifier des puissances de puissances
VII Loi des exposants 4

Regardons un exemple :$$\begin{aligned}(\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{2}}&= (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5}) \times (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5}) \\ &= \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5} \times \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5} \\ &= (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colordef}{3}) \times (\textcolor{colorprop}{5} \times \textcolor{colorprop}{5}) \\ &= \textcolor{colordef}{3}^{\textcolor{olive}{2}}\, \textcolor{colorprop}{5}^{\textcolor{olive}{2}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsqu'on multiplie deux nombres \(\textcolor{colordef}{a}\) et \(\textcolor{colorprop}{b}\), puis qu'on élève le produit à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire :$$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}},$$le résultat est que chaque facteur est élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\) :$$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}.$$

Proposition — Loi des exposants 4
Pour tout nombre \(n\) et pour tous nombres \(a\) et \(b\),$$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}$$
Exemple
Simplifie \((\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}}\).

$$(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}}= \textcolor{colordef}{2}^{\textcolor{olive}{3}}\, \textcolor{colorprop}{5}^{\textcolor{olive}{3}}$$

Compétences à pratiquer
  • Simplifier les puissances d'un produit
  • Simplifier les puissances d'un produit
VIII Loi des exposants 5

Regardons un exemple :$$\begin{aligned}\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}&= \left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right) \times \left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right) \\ &= \dfrac{\textcolor{colordef}{5} \times \textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3} \times \textcolor{colorprop}{3}} \\ &= \dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsqu'un quotient \(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\) est élevé à une puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire :$$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}},$$le résultat est le numérateur élevé à cette puissance divisé par le dénominateur élevé à cette puissance :$$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}}= \dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}{\textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}}.$$

Proposition — Loi des exposants 5
Pour \(b\neq 0\) et pour un nombre \(n\),$$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}}= \dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}{\textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}}$$
Exemple
Calcule \(\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}\).

$$\begin{aligned}[t]\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}&= \dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}} \\ &= \dfrac{25}{9}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Simplifier des puissances de fractions
  • Simplifier des puissances de fractions algébriques
IX Loi des exposants 6

Regardons un exemple avec un exposant négatif :$$\begin{aligned}\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{-2}}&= \dfrac{1}{\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}} \\ &= \dfrac{1}{\dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}}} \\ &= 1 \times \dfrac{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}} \\ &= \dfrac{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}} \\ &= \left(\dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{5}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsqu'un quotient \(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\) est élevé à une puissance négative \(\textcolor{olive}{-n}\) :$$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{-n}} = \left(\dfrac{\textcolor{colorprop}{b}}{\textcolor{colordef}{a}}\right)^{\textcolor{olive}{n}}.$$Cela signifie qu’un exposant négatif fait basculer la fraction : le numérateur et le dénominateur s’échangent.

Proposition — Loi des exposants 6
Pour des nombres \(a\) et \(b\) non nuls, et tout exposant \(n\),$$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{-n}} = \left(\dfrac{\textcolor{colorprop}{b}}{\textcolor{colordef}{a}}\right)^{\textcolor{olive}{n}}$$et en particulier,$$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{-1}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{b}}{\textcolor{colordef}{a}}.$$
Exemple
Calcule \(\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{-2}\).

$$\begin{aligned}\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{-2} &= \left(\dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{5}}\right)^{2} \\ &= \dfrac{3^2}{5^2}\\ &= \dfrac{9}{25} \\ \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Exprimer une puissance négative sous forme de fraction
  • Multiplier par l'inverse
X Ordre des opérations
L'ordre des opérations est un ensemble de règles qui nous indique quelles opérations faire en premier dans une expression mathématique.
Définition — Ordre des opérations
Pour résoudre les expressions mathématiques avec précision, nous suivons l'ordre des opérations, qui est souvent mémorisé à l'aide de l'acronyme PEMDAS :
  1. P : Parenthèses
  2. E : Exposants
  3. M : Multiplication
  4. D : Division
  5. A : Addition
  6. S : Soustraction
On commence par les opérations en haut de la liste.La multiplication et la division sont au même niveau : on les effectue de gauche à droite.L'addition et la soustraction sont aussi au même niveau : on les effectue de gauche à droite.
Exemple
Calcule \((1+2) \times 2^3 + 4\).

$$\begin{aligned}[t](1+2) \times 2^3 + 4 &= \textcolor{colordef}{(1+2)} \times 2^3 + 4 && (\text{parenthèses : } \textcolor{colordef}{(1+2)} = 3) \\ &= 3 \times \textcolor{colordef}{2^3} + 4 && (\text{exposant : } \textcolor{colordef}{2^3} = 8) \\ &= \textcolor{colordef}{3 \times 8} + 4 && (\text{multiplication : } \textcolor{colordef}{3 \times 8} = 24) \\ &= \textcolor{colordef}{24 + 4} && (\text{addition : } \textcolor{colordef}{24 + 4} = 28) \\ &= 28\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Évaluer des expressions avec des puissances en 2 étapes
  • Évaluer des expressions avec des puissances en 3 étapes
  • Trouver l'opération
  • Combiner exposants négatifs et opérations
  • Simplifier des expressions algébriques
  • Simplifier des expressions de puissances
  • Calculer la valeur entière
XI Notation scientifique
Travailler avec des nombres très grands ou très petits peut être difficile. Puisque notre système de numération est en base dix, nous pouvons utiliser les puissances de dix pour réécrire ces nombres afin de les rendre plus faciles à manipuler. Cette écriture particulière s’appelle la notation scientifique et elle est très utilisée en sciences.
Définition — Notation scientifique
Un nombre non nul est exprimé en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme :
\(a \times 10^n\) où \(1 \leq |a| < 10\) et \(n\) est un entier.
Exemple
Écris \(245\) en notation scientifique.

$$\begin{aligned}[t]245 &= 2{,}45 \times 100 \\ &= 2{,}45 \times 10^2\end{aligned}$$Ainsi, \(245\) s'écrit en notation scientifique : \(2{,}45 \times 10^2\).

Compétences à pratiquer
  • Écrire des nombres sous forme de puissances de 10
  • Exprimer en notation scientifique
  • Exprimer en écriture décimale
  • Expressing Real-World Quantities in Scientific Notation
XII Expression exponentielle
Définition — Expression exponentielle
Une expression exponentielle est une expression mathématique où une variable apparaît en exposant.
Exemple
\(2^x\) et \(5^{x+1}\) sont des expressions exponentielles. Ceci est différent d'une expression polynomiale comme \(x^2\), où la variable se trouve dans la base.
Méthode — Manipuler des expressions exponentielles
L'application des lois des exposants nous permet de simplifier, développer et factoriser des expressions complexes impliquant des variables en exposant. Ces compétences sont fondamentales pour résoudre des équations exponentielles.
Exemple
Simplifie \(\frac{2^{x+1}+2^x}{2^x}\).

$$\begin{aligned}[t] \frac{2^{x+1}+2^x}{2^x} &= \frac{2^x \cdot 2^1 + 2^x}{2^x} && \scriptscriptstyle\text{(Utiliser la loi des exposants)} \\ &= \frac{2^x(2+1)}{2^x} && \scriptscriptstyle\text{(Factoriser par le terme commun } 2^x\scriptscriptstyle\text{)} \\ &= 3 && \scriptscriptstyle\text{(Annuler le facteur commun)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Simplifier en utilisant les lois des exposants
  • Simplifier des expressions exponentielles
  • Développer et simplifier des expressions exponentielles
  • Factoriser des expressions exponentielles
XIII Le nombre exponentiel \(e\)

Explorons une idée issue de la finance : les intérêts composés.
Imagine que tu investis 1 \(\dollar\) dans un compte bancaire spécial qui offre un taux d'intérêt annuel de \(100\pourcent\). Voyons combien d'argent tu as après un an en fonction de la fréquence à laquelle les intérêts sont calculés (capitalisés) et ajoutés à ton compte.
  • Cas 1 : Composé annuellement
    L'intérêt est versé une seule fois à la fin de l'année. La valeur finale est :$$1 \times (1 + 100\pourcent) = 1 \times (1+1) = 2\,\dollar.$$Donc$$\text{Valeur} = (1 + 1)^1.$$
  • Cas 2 : Composé semestriellement
    L'intérêt est versé deux fois par an. La banque te donne la moitié du taux annuel (\(50\pourcent\)) à chaque fois.
    • Après 6 mois : \(1 \times \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = 1{,}50\,\dollar\)
    • Fin de l'année : \(1{,}50 \times \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = 2{,}25\,\dollar\)
    Cela peut être calculé en une seule étape :$$1 \times \left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2{,}25\,\dollar.$$Donc$$\text{Valeur} = \left(1 + \frac{1}{2}\right)^2.$$
  • Cas \(n\) : Composé \(n\) fois par an
    Si nous capitalisons \(n\) fois par an, le taux d'intérêt par période est \(\dfrac{1}{n}\) (pour un taux annuel de \(100\pourcent\)), et il est appliqué \(n\) fois. La formule devient :$$\text{Valeur} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$$
Calculons la valeur de \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) pour des valeurs de \(n\) de plus en plus grandes :
Fréquence de capitalisation \(n\) Valeur \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\)
Annuelle 1 \((1 + 1/1)^1 = 2{,}00000\)
Semestrielle 2 \((1 + 1/2)^2 = 2{,}25000\)
Trimestrielle 4 \((1 + 1/4)^4 \approx 2{,}44141\)
Mensuelle 12 \((1 + 1/12)^{12} \approx 2{,}61304\)
Quotidienne 365 \((1 + 1/365)^{365} \approx 2{,}71457\)
Horaire 8 760 \((1 + 1/8760)^{8760} \approx 2{,}71813\)
Comme tu peux le voir, le montant final augmente, mais il ne devient pas infiniment grand : il semble s'approcher d'un nombre précis. Ce nombre spécial, irrationnel, est noté \(e\), aussi appelé nombre d'Euler. Il représente la valeur limite de ce processus de capitalisation de plus en plus fréquente (croissance continue).

Définition — Le nombre exponentiel \(e\)
Le nombre e est défini par$$e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$$
À cinq décimales près,$$e \approx 2{,}71828\ldots$$C'est un nombre irrationnel, ce qui signifie que son écriture décimale ne se termine jamais et ne devient jamais périodique.
Compétences à pratiquer
  • Simplifier en utilisant les lois des exposants
  • Simplifier en utilisant les lois des exposants
  • Développer et simplifier des expressions exponentielles
  • Développer et simplifier des expressions exponentielles
  • Factoriser des expressions exponentielles
  • Simplifier des expressions exponentielles
XIV Équations exponentielles
Définition — Équation Exponentielle
Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît en exposant.
Exemple
\(2^x = 8\) et \(30 \times 3^x = 7\) sont des équations exponentielles.
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les équations exponentielles. Celles-ci incluent l'utilisation de graphiques, de la technologie, et des logarithmes, que nous étudierons plus tard. Cependant, dans certains cas, nous pouvons résoudre l'équation algébriquement en égalisant les exposants.
Méthode — Résoudre par l'égalité des exposants
Pour \(a>0, a\neq 1\), \(a^x = a^y\) si et seulement si \(x = y\).
Exemple
Résous pour \(x\) :
\(2^x = 16\)

$$\begin{aligned}[t]\,&&2^x &= 16 \\ \Leftrightarrow && 2^x &= 2^4 && \scriptscriptstyle\text{(Écrire 16 comme une puissance de 2)} \\ \Leftrightarrow && x &= 4 && \scriptscriptstyle\text{(Égaliser les exposants)}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Résoudre par l'égalité des exposants : Niveau 1
  • Résoudre par l'égalité des exposants : Niveau 2
  • Résoudre par l'égalité des exposants : Niveau 3
  • Résoudre des équations de forme quadratique
XV R\'{e}vision \& Au-del\`{a}
Compétences à pratiquer
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