Suites

Suite numérique

En mathématiques, une suite est plus qu'un simple motif : c'est une liste ordonnée de nombres où chaque nombre a une position spécifique (sa place dans la liste). Pour travailler efficacement avec les suites, nous utilisons une notation spéciale pour distinguer la position d'un terme de sa valeur.

Définition Suite numérique

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés termes. Nous utilisons la notation $u_n$ pour décrire un terme de la suite.

L'indice $n$ indique la position du terme (commençant souvent à $n=0$). L'indice $n$ prend généralement des valeurs entières : $0,1,2,\dots$
$u_n$ représente la valeur du terme à cette position spécifique.

Ainsi, $u_0$ est la valeur du terme à la position $0$, $u_1$ est la valeur à la position $1$, et ainsi de suite.

Indice ($n$)	0	1	2	$\dots$
Terme ($u_n$)	$u_0$	$u_1$	$u_2$	$\dots$

Exemple

Étant donné la suite définie par le tableau ci-dessous, trouve la valeur du terme $u_4$.

$n$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$u_n$	3	5	7	9	11	13	$\dots$

Correction

Pour trouver $u_4$, nous regardons dans le tableau la colonne où l'indice est $n=4$. La valeur dans la ligne en dessous est $11$.
Par conséquent, $u_4 = 11$.

Définition par récurrence

Découverte

Considérons une suite dont le premier terme est $2$ et où chaque terme est obtenu en ajoutant $3$ au terme précédent. Les termes sont :

Ici, la suite est indexée à partir de $n=0$ : $u_0 = 2$, $u_1 = 5$, $u_2 = 8$, $u_3 = 11$, etc.Nous pouvons décrire la relation entre les termes en utilisant une notation formelle :

$5 = 2\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_1 = u_0\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{0+1} = u_0+3$
$8 = 5\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_2 = u_1\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{1+1} = u_1+3$
$11 = 8\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_3 = u_2\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{2+1} = u_2+3$

Ce motif montre que n'importe quel terme $u_{n+1}$ peut être trouvé en ajoutant $3$ au terme précédent $u_n$. Nous pouvons généraliser cette relation en une règle (valable pour tout entier $n \ge 0$) :$$u_{n+1} = u_n + 3$$

Définition Définition par récurrence

Une définition par récurrence d'une suite comprend deux parties :

Le premier terme (ou terme initial), noté par exemple $u_0$ ou $u_1$. C'est le point de départ.
La règle de récurrence (ou relation de récurrence), qui est une formule reliant le terme suivant, $u_{n+1}$, au terme actuel, $u_n$, pour tous les entiers $n$ appropriés (par exemple $n \ge 0$ ou $n \ge 1$).

Une fois ces deux éléments connus, on peut calculer tous les termes de la suite pas à pas.

Exemple

Une suite est définie par récurrence par :

$u_1 = 5$ (Le premier terme est $5$).
$u_{n+1} = u_n + 3$ (La règle est d'ajouter $3$ au terme précédent, pour tout entier $n \ge 1$).

Trouve les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

Construisons la suite étape par étape en utilisant la définition par récurrence.

$1^{\text{er}}$ terme : Le terme de départ est donné : $\boldsymbol{u_1 = 5}$.
$2^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=1$. $\boldsymbol{u_2} = u_1 + 3 = 5 + 3 = 8$.
$3^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=2$. $\boldsymbol{u_3} = u_2 + 3 = 8 + 3 = 11$.
$4^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=3$. $\boldsymbol{u_4} = u_3 + 3 = 11 + 3 = 14$.
$5^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=4$. $\boldsymbol{u_5} = u_4 + 3 = 14 + 3 = 17$.

$$5 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 8 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 11 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 14 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\,+3\,}} 17$$Les cinq premiers termes sont : $5, 8, 11, 14, 17$.

Définition par une formule explicite

Alors qu'une règle de récurrence vous indique comment passer d'un terme au suivant, elle n'est pas très efficace si vous voulez trouver un terme lointain dans la suite (comme le $100^{\text{e}}$ terme), car il faudrait calculer tous les termes précédents.
Une manière alternative et souvent plus pratique de définir une suite est d'utiliser une formule explicite. Une formule explicite est une formule qui donne directement la valeur de $u_n$ lorsque l'on connaît la position $n$ dans la suite. On choisit $n$, et la formule permet de trouver immédiatement $u_n$.

Définition Formule explicite

Une formule explicite définit directement le $n$-ième terme d'une suite, $u_n$, en fonction de sa position $n$.$$u_n = f(n)$$

Remarque

L'avantage principal est que cela nous permet de calculer n'importe quel terme de la suite directement, sans avoir d'abord à calculer tous les termes précédents un par un.

Exemple

Considère la suite définie par la formule explicite :$$u_n = 3n + 2$$Calcule $u_{100}$.

Correction

Pour trouver la valeur de $u_{100}$, on remplace $n$ par 100 dans la formule explicite :$$\begin{aligned}[t]u_{100} &= 3(100) + 2 \\ &= 300 + 2 \\ &= \boldsymbol{302}\end{aligned}$$On n'a pas eu besoin de connaître les termes précédents de la suite.

Suite arithmétique

Une suite arithmétique est le type de suite le plus courant qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et une variation constante entre deux termes consécutifs.

Découverte

Considérons une suite arithmétique avec un premier terme $u_1 = 5$ et une raison arithmétique $r = 3$.
Nous pouvons écrire les premiers termes en ajoutant 3 de manière répétée :

$u_1 = 5$
$u_2 = 5 + 3$
$u_3 = 5 + 3 + 3$
$u_4 = 5 + 3 + 3 + 3$

Réécrivons cela en utilisant la multiplication pour voir le motif :

$u_1 = 5 + \textcolor{colordef}{0} \times 3$
$u_2 = 5 + \textcolor{colordef}{1} \times 3$
$u_3 = 5 + \textcolor{colordef}{2} \times 3$
$u_4 = 5 + \textcolor{colordef}{3} \times 3$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on ajoute la raison $r$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela nous donne la formule explicite :$$u_n = u_1 + (n-1)r$$Maintenant, nous pouvons trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 + (10-1)r = 5 + (9 \times 3) = 5 + 27 = 32$$C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un !

Définition Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où chaque terme après le premier est obtenu en ajoutant une valeur constante au terme précédent. Cette constante est appelée la raison, notée $r$.

Définition par récurrence : La règle pour trouver le terme suivant à partir du précédent est :$$u_{n+1} = u_n + r$$
Formule explicite : Nous pouvons aussi trouver n'importe quel terme directement en utilisant sa position, $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 + (n-1)r$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 + nr$$

Exemple

Une suite arithmétique a pour premier terme $u_1 = 5$ et pour raison $r = 3$.
Trouve les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

La règle de récurrence est $u_{n+1} = u_n + 3$. On commence avec $u_1 = 5$ et on applique la règle de manière répétée.

$u_1 = \boldsymbol{5}$ (donné)
$u_2 = u_1 + 3 = 5 + 3 = \boldsymbol{8}$
$u_3 = u_2 + 3 = 8 + 3 = \boldsymbol{11}$
$u_4 = u_3 + 3 = 11 + 3 = \boldsymbol{14}$
$u_5 = u_4 + 3 = 14 + 3 = \boldsymbol{17}$

Les cinq premiers termes sont : $5, 8, 11, 14, 17$.

Suite géométrique

Une suite géométrique est un autre type fondamental de suite qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et un facteur multiplicatif constant : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre.

Découverte

Considérons une suite géométrique avec un premier terme $u_1 = 2$ et une raison géométrique $q = 3$.
Nous pouvons écrire les premiers termes en multipliant par 3 de manière répétée :

$u_1 = 2$
$u_2 = 2 \times 3$
$u_3 = 2 \times 3 \times 3$
$u_4 = 2 \times 3 \times 3 \times 3$

Réécrivons cela en utilisant des exposants pour voir le motif :

$u_1 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{0}}$
$u_2 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{1}}$
$u_3 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{2}}$
$u_4 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{3}}$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on multiplie par la raison $q$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela nous donne la formule explicite :$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$Maintenant, nous pouvons trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 \times q^{10-1} = 2 \times 3^9 = 2 \times 19683 = 39366$$C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un !

Définition Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite où chaque terme après le premier est obtenu en multipliant le terme précédent par une valeur constante non nulle. Cette constante est appelée la raison géométrique, notée $q$.

Définition par récurrence : La règle pour trouver le terme suivant à partir du précédent est :$$u_{n+1} = q \times u_n$$
Formule explicite : Nous pouvons aussi trouver n'importe quel terme directement en utilisant sa position, $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 \times q^n$$

Exemple

Une suite géométrique a pour premier terme $u_1 = 2$ et pour raison géométrique $q = 2$.
Trouve les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

La règle de récurrence est $u_{n+1} = u_n \times 2$. On commence avec $u_1 = 2$ et on applique la règle de manière répétée.

$u_1 = \boldsymbol{2}$ (donné)
$u_2 = 2 \times u_1 = 2 \times 2 = \boldsymbol{4}$
$u_3 = 2 \times u_2 = 2 \times 4 = \boldsymbol{8}$
$u_4 = 2 \times u_3 = 2 \times 8 = \boldsymbol{16}$
$u_5 = 2 \times u_4 = 2 \times 16 = \boldsymbol{32}$

Les cinq premiers termes sont : $2, 4, 8, 16, 32$.

Séries

Alors qu'une suite est une liste de nombres, une série est ce que l'on obtient en additionnant ces nombres. Chaque suite a une série correspondante. Nous nous intéressons souvent à la somme partielle d'une suite, qui est la somme d'un nombre spécifique de ses termes, en partant du début.

Définition Série et somme partielle

Une série est la somme des termes d'une suite. La somme partielle, notée $\boldsymbol{S_n}$, est la somme des termes d'une suite jusqu'à un indice spécifique $n$.

Si une suite commence à $u_0$, la somme partielle $S_n$ est la somme des $\textcolor{colordef}{(n+1)}$ premiers termes : $$S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \ldots + u_n = \sum_{i=0}^n u_i$$
Si une suite commence à $u_1$, la somme partielle $S_n$ est la somme des $\textcolor{colordef}{n}$ premiers termes : $$S_n = u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_n = \sum_{i=1}^n u_i$$

Somme d'une suite arithmétique

Découverte

Comment calculer efficacement la somme des 20 premiers termes d'une suite arithmétique commençant par $u_0 = 5$ et de raison $r=5$ ?$$S_{19} = \overbrace{5 + 10 + 15 + \ldots + 90 + 95 + 100}^{\text{20 termes}}$$L'astuce, célèbre découverte de Gauss enfant, est d'écrire la somme deux fois, une fois dans l'ordre normal et une fois dans l'ordre inverse, puis d'additionner les deux lignes terme à terme.$$\begin{array}{l r c c c c c c c}S_{19} & = & 5 & + & 10 & + & \ldots & + & 100 \\ S_{19} & = & 100 & + & 95 & + & \ldots & + & 5 \\ \hline2S_{19} & = & 105 & + & 105 & + & \ldots & + & 105 \\ \end{array}$$Chaque paire de termes donne la même somme ($5+100=105$, $10+95=105$, etc.). Puisqu'il y a 20 termes dans la suite, nous avons 20 paires.$$2S_{19} = 20 \times (5+100)$$Par conséquent, la somme est :$$S_{19} = 20 \times\frac{5+100}{2} = 1050$$Cette méthode révèle la formule générale :$$S_n = \frac{\text{Nombre de termes}}{2} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})$$

Proposition Somme d'une suite arithmétique

La somme des premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule :$$S_n = \text{Nombre de termes} \times \frac{(\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})}{2}$$

Si une suite commence à $u_0$ et se termine à $u_n$, il y a $\boldsymbol{n+1}$ termes. La formule est :$$S_n = \frac{n+1}{2}(u_0 + u_n)$$
Si une suite commence à $u_1$ et se termine à $u_n$, il y a $\boldsymbol{n}$ termes. La formule est :$$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$$

Somme d'une suite géométrique

Découverte

Comment calculer efficacement la somme des 10 premiers termes d'une suite géométrique commençant par $u_0 = 3$ et de raison $q=2$ ?$$S_9 = 3 + 6 + 12 + 24 + \ldots + 768 + 1536$$L'astuce consiste à multiplier la somme entière par la raison, $q=2$, puis à soustraire la somme originale de cette nouvelle somme.
Écrivons la somme originale :$$S_9 = 3 + 6 + 12 + \ldots + 768 + 1536$$Maintenant, multiplions chaque terme par la raison, 2 :$$2S_9 = 6 + 12 + 24 + \ldots + 1536 + 3072$$Remarquez que la plupart des termes de $S_9$ et de $2S_9$ sont identiques. Si nous soustrayons la première équation de la deuxième, ces termes s'annuleront :$$\begin{array}{lrccccccccc} 2S_9 & = & & & 6 & + & 12 & + \ldots + & 1536 & + & 3072 \\ -\, S_9 & = & -(3 & + & 6 & +&12 & + \ldots + & 1536) \\ \hline(2-1)S_9 & = & -3 & + & 0 & + &0&+\ldots + & 0 & + & 3072 \\ \end{array}$$Cela nous laisse avec une équation beaucoup plus simple :$$S_9 = 3072 - 3 = 3069$$Cette méthode révèle la formule générale pour la somme de toute suite géométrique.$$\begin{aligned}S_n - qS_n &= u_0 - u_0 \times q^{n+1}\\ S_n(1-q) &= u_0(1-q^{n+1})\\ S_n &= u_0 \left( \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}\right)\\ \end{aligned}$$

Proposition Somme d'une suite géométrique

La somme des premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :$$S_n = \text{Premier terme} \times \frac{1 - (\text{raison})^{\text{Nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$$

Si une suite commence à $u_0$ et a une raison $q$, la somme des $\boldsymbol{n+1}$ premiers termes est :$$S_n = u_0 \left( \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \right)$$
Si une suite commence à $u_1$ et a une raison $q$, la somme des $\boldsymbol{n}$ premiers termes est :$$S_n = u_1 \left( \frac{1 - q^{n}}{1 - q} \right)$$

Ces formules sont valides pour toute raison $q \neq 1$.

Indice (\(n\))	0	1	2	\(\dots\)
Terme (\(u_n\))	\(u_0\)	\(u_1\)	\(u_2\)	\(\dots\)

\(n\)	0	1	2	3	4	5	\(\dots\)
\(u_n\)	3	5	7	9	11	13	\(\dots\)